三角函数绘图器

欢迎使用三角函数绘图器，这是一个功能强大的交互式可视化工具，用于探索正弦、余弦、正切和其他三角函数。无论您是学习函数变换的学生、制作教学材料的教师，还是分析周期性现象的工程师，此工具都能为您提供直观的实时绘图和详尽的数学解释。

什么是三角函数？

三角函数是基本的数学函数，它们将角度与直角三角形的边长比联系起来。它们构成了波形分析、信号处理、物理和工程学的基础。六个主要的三角函数是：

函数定义周期值域

sin(x)对边 / 斜边2π[-1, 1]

cos(x)邻边 / 斜边2π[-1, 1]

tan(x)sin(x) / cos(x)π(-∞, ∞)

cot(x)cos(x) / sin(x)π(-∞, ∞)

sec(x)1 / cos(x)2π(-∞, -1] ∪ [1, ∞)

csc(x)1 / sin(x)2π(-∞, -1] ∪ [1, ∞)

一般形式：y = A·f(B(x - C)) + D

所有三角函数都可以使用控制其形状和位置的四个关键参数进行变换：

一般变换形式

$$y = A \cdot f(B(x - C)) + D$$

理解每个参数

A (振幅)：控制垂直拉伸/压缩。|A| 是从中线到波峰的距离。当 A 为负值时，函数关于 x 轴对称。

B (频率)：影响水平拉伸/压缩。正弦/余弦的周期变为 2π/|B|，正切/余切的周期变为 π/|B|。B 越大，意味着在同一区间内的周期越多。

C (相位平移)：水平平移。正值 C 将图形向右移动，负值 C 将其向左移动。相位平移 = C 个单位。

D (垂直平移)：垂直平移。将整个图形向上（正值 D）或向下（负值 D）移动。中线变为 y = D。

如何使用此绘图器

选择函数类型：使用视觉选择器从正弦、余弦、正切、余切、正割或余割中进行选择。

设置变换参数：输入振幅 (A)、频率 (B)、相位平移 (C) 和垂直平移 (D) 的值。

调整查看窗口：设置 X 轴的最小值和最大值。常见的选择包括 -2π 到 2π 或 0 到 4π。

点击“绘制函数图”：生成交互式可视化图形。

使用滑块探索：使用实时交互式控件修改参数，并观看图形瞬间更新。

关键公式

周期公式

正弦和余弦的周期

$$T = \frac{2\pi}{|B|}$$

正切和余切的周期

$$T = \frac{\pi}{|B|}$$

标准函数的关键点

对于 y = sin(x)，在一个周期 [0, 2π] 内的关键点：

(0, 0) - 从中线开始

(π/2, 1) - 最大值

(π, 0) - 回到中线

(3π/2, -1) - 最小值

(2π, 0) - 完成循环

常见问题解答

三角函数的一般形式是什么？

一般形式为 y = A·f(B(x - C)) + D，其中 A 是振幅（垂直拉伸），B 影响周期（正弦/余弦的周期 = 2π/|B|），C 是相位平移（水平位移），D 是垂直平移。这种形式可以描述基本三角函数的任何变换。

如何找到三角函数的周期？

对于正弦和余弦函数，周期为 2π/|B|，其中 B 是频率系数。对于正切和余切，周期为 π/|B|。例如，y = sin(2x) 的周期为 π，因为 2π/2 = π，这意味着它在 π 个单位而不是 2π 个单位内完成一个完整的循环。

振幅和垂直平移之间有什么区别？

振幅 (A) 决定了函数从其中线垂直拉伸的距离——它控制波峰的高度和波谷的深度。垂直平移 (D) 在不改变函数形状的情况下向上或向下移动整个函数。对于 y = 2sin(x) + 3，振幅为 2（在中线上方和下方波动 2 个单位），垂直平移为 3（中线位于 y=3）。

为什么正切函数有垂直渐近线？

正切定义为 sin(x)/cos(x)。当 cos(x) = 0（在 x = π/2 + nπ，n 为任何整数时），除以零会产生垂直渐近线，函数在这些点趋向正无穷或负无穷。这就是为什么正切图有重复的垂直渐近线，并且函数在这些点未定义。

相位平移如何影响三角函数图？

相位平移 (C) 水平移动图形。正值 C 将图形向右移动，负值 C 将其向左移动。对于 y = sin(x - π/2)，图形向右移动 π/2 个单位，使得 sin(x - π/2) = -cos(x)。相位平移在物理学中对于描述在循环中不同点开始的波至关重要。

三角函数的应用

物理学：模拟振荡、波动、单摆和交流电

工程学：信号处理、电路、机械振动

音乐：声波、谐波、频率分析

导航：GPS 计算、三角测量、测绘

计算机图形学：旋转、动画、波动模拟

建筑学：结构分析、负载计算

附加资源

三角函数 - 维基百科

三角函数 - Wolfram MathWorld

三角函数课程 - 可汗学院

引用此内容、页面或工具为：

"三角函数绘图器" 于 https://MiniWebtool.com/zh-cn/三角函数绘图器/，来自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 团队开发。更新日期：2026年1月23日