矩阵的秩是什么？

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前言一、矩阵秩的定义？二、矩阵乘法的几何意义三、几何上理解矩阵的秩1.矩阵

A

A

A是方阵时2.矩阵

A

A

A是方阵时（3*3）3.矩阵

A

A

A非方阵时（3*2）

总结参考

前言

相信大家刚开始学线性代数时，都会接触到一个重要的概念，矩阵的秩。矩阵的秩的定义很好理解，可是这矩阵秩的背后有啥奥秘呢？通过自己的学习和大家分享下我理解的秩的概念。

一、矩阵秩的定义？

矩阵秩的数学定义：在

m

×

n

m \times n

m×n矩阵

A

A

A 中，任取 k 行与 k 列（

k

≤

m

；

k

≤

n

k \leq m；k \leq n

k≤m；k≤n），位于这些行列交 叉处的

k

2

k^2

k2个元素，不改变它们在

A

A

A中所处的位置次序而得的

k

k

k 阶行列式，称为矩阵

A

A

A的

k

k

k 阶子式。

设在矩阵

A

A

A 中有一个不等于 0 的

r

r

r 阶子式

D

D

D，且所有

r

+

1

r+1

r+1阶子式 （如果存在的话）全等于 0，那么

D

D

D 称为矩阵

A

A

A 的最高阶非零子式，数

r

r

r称为矩阵

A

A

A 的秩，记作

R

(

A

)

R(A)

R(A)。

二、矩阵乘法的几何意义

我们先做个准备，理解下矩阵乘法的几何意义

一句话概括就是，

C

=

A

B

C=AB

C=AB，把

A

A

A看成一个“函数

f

(

x

)

f(x)

f(x)”，将

B

B

B的每一列向量看成

x

x

x，最终将空间某一个位置的

x

x

x移动到空间的另外一个位置（长度可能发生变化）。

三、几何上理解矩阵的秩

1.矩阵

A

A

A是方阵时

举个例子假如

A

A

A =

(

2

1

1

1

)

\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{matrix} \right)

(21​11​)

看到这个矩阵我们很容易判断它时秩为2的矩阵，因为两行不成比例。根据矩阵的秩的定义也可以判断。但这不是我们想要的直观上的理解。什么是几何上的理解呢？

设

x

x

x是任意的一个取值为实数的向量

(

x

1

x

2

)

\left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right)

(x1​x2​​)，我们知道

A

x

Ax

Ax是一个两行一列的向量，当我们让

x

1

,

x

2

x_1,x_2

x1​,x2​取遍一切实数，

A

x

Ax

Ax就能铺满整个二维平面（想象一下上面的矩阵相乘的几何意义）。因为

A

x

=

x

1

(

2

1

)

+

x

2

(

1

1

)

Ax=x_1\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) + x_2\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)

Ax=x1​(21​)+x2​(11​)，我们可以把

(

2

1

)

\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \right)

(21​)，

(

1

1

)

\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right)

(11​)看成是一个二维平面的基，确实也可以，因为它们线性无关。

重要：1.矩阵A的秩等于2，不刚好等于最终由矩阵列向量线性组合生成的空间的维数吗，

矩阵A的列向量生成的空间是二维平面，二维平面是2维的空间。

2.这里矩阵A的秩等于2也可以理解为，无穷多个向量通过矩阵的作用，都落在二维平面上。

再举一个例子，假如

B

B

B =

(

1

2

1

2

)

\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right)

(11​22​)

看到这个矩阵我们很容易判断它时秩为1的矩阵，因为两行成比例。根据矩阵的秩的定义也可以判断。如何从几何上的理解呢？

设

x

x

x是任意的一个取值为实数的向量

(

x

1

x

2

)

\left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right)

(x1​x2​​)，我们知道

A

x

Ax

Ax是一个两行一列的向量，当我们让

x

1

,

x

2

x_1,x_2

x1​,x2​取遍一切实数，

A

x

Ax

Ax就不能铺满整个二维平面。因为

A

x

=

x

1

(

1

1

)

+

x

2

(

2

2

)

Ax=x_1\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right) + x_2\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)

Ax=x1​(11​)+x2​(22​)

(

1

1

)

\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \right)

(11​)，

(

2

2

)

\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \right)

(22​)是两个共线的向量，由它们生成的空间只能是一条直线，这条直线为

y

=

x

y=x

y=x它不是整个二维平面，我们可以称呼向量

(

2

2

)

\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix} \right)

(22​)是垃圾向量，因为它对生成整个二维平面没有一点贡献。

重要：矩阵A的秩等于 1，不刚好等于矩阵列向量线性组合生成的一维空间的维数吗，

由于矩阵A第二列是垃圾向量，最终只能生成一维的直线。

3.高维矩阵

n

∗

n

n*n

n∗n也是这样理解的。

2.矩阵

A

A

A是方阵时（3*3）

举个例子假如

A

A

A =

(

2

1

2

1

1

2

3

1

2

)

\left( \begin{matrix} 2 & 1 & 2\\ 1 & 1 & 2\\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} \right)

⎝⎛​213​111​222​⎠⎞​

看到这个矩阵我们很容易判断它时秩为2的矩阵，因为有两行成比例。根据矩阵的秩的定义也可以判断。如何从几何上的理解呢？

设

x

x

x是任意的一个取值为实数的向量

(

x

1

x

2

x

3

)

\left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{matrix} \right)

⎝⎛​x1​x2​x3​​⎠⎞​，我们知道

A

x

Ax

Ax是一个三行一列的向量，当我们让

x

1

,

x

2

,

x

3

x_1,x_2, x_3

x1​,x2​,x3​取遍一切实数，

A

x

Ax

Ax就不能生成整个三维空间，只能生成三维空间的一个平面。因为

A

x

=

x

1

(

2

1

3

)

+

x

2

(

1

1

1

)

+

x

3

(

2

2

2

)

Ax=x_1\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) + x_2\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)+x_3\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right)

Ax=x1​⎝⎛​213​⎠⎞​+x2​⎝⎛​111​⎠⎞​+x3​⎝⎛​222​⎠⎞​

(

1

1

1

)

\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)

⎝⎛​111​⎠⎞​ 与

(

2

2

2

)

\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right)

⎝⎛​222​⎠⎞​共线，

(

2

2

2

)

\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right)

⎝⎛​222​⎠⎞​对生成三维空间没有做出任何贡献。

重要： 1.矩阵A的秩等于 2 ，不刚好等于最终由矩阵列向量线性组合生成的空间的维数吗，

矩阵A的列向量生成的空间是二维平面，二维平面是 2 维的空间。

2.当用无穷多个 3 维列向量与矩阵作用时，最终向量全部坍缩在一个二维平面内。

我们可以形象称呼这个矩阵不怎么“健壮”，明明是 3*3 的矩阵，最终只能生成2维平面。

3.矩阵

A

A

A非方阵时（3*2）

举个例子假如

A

A

A =

(

2

1

1

1

1

1

)

\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right)

⎝⎛​211​111​⎠⎞​

看到这个矩阵我们很容易判断它时秩为2的矩阵。根据矩阵的秩的定义也可以判断。如何从几何上的理解呢？

设

x

x

x是任意的一个取值为实数的向量

(

x

1

x

2

)

\left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right)

(x1​x2​​)，我们知道

A

x

Ax

Ax是一个三行一列的向量，当我们让

x

1

,

x

2

x_1,x_2

x1​,x2​取遍一切实数，

A

x

Ax

Ax生成三维空间的一个平面。因为

A

x

=

x

1

(

2

1

1

)

+

x

2

(

1

1

1

)

Ax=x_1\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right) + x_2\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} \right)

Ax=x1​⎝⎛​211​⎠⎞​+x2​⎝⎛​111​⎠⎞​

重要：矩阵A的秩等于 2，不刚好等于最终由矩阵列向量线性组合生成的空间的维数吗，

矩阵A的列向量生成的空间是二维平面，二维平面是 2 维的空间。

总结

1.所以，矩阵的秩就是，当用相应的无穷多个向量去与矩阵作用时，最终它们铺满空间的维数。

2.在三维几何空间中，如果铺满的是一个二维平面，就说矩阵秩为 2 ，如果填充满三维空间，就说矩阵秩为 3 。

参考

1.线性代数的几何意义----任广千，谢聪等 2.线性代数的本质 — 3Blue1Brown